Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên (vòng 2)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: giảI phương trình \[\sqrt {x – 3} + \sqrt {x – 1} = 2\]
Bài 2: GiảI hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}(x + y)({x^2} + {y^2}) = 15\\(x – y)({x^2} – {y^2}) = 3\end{array} \right.\]
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{({x^3} + {y^3}) – ({x^2} + {y^2})}}{{(x – 1)(y – 1)}}\] với x, y là các số thực lớn hơn 1.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho Ð MAB = Ð MBC = Ð MCD = Ð MDA.
b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số \[\frac{{OB}}{{CN}}\] có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn (S) và (S’) có các đường kính tương ứng AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S).
Bài 5: Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … được xác định bởi công thức \[{x_n} = \left[ {\frac{{n + 1}}{{\sqrt 2 }}} \right] – \left[ {\frac{n}{{\sqrt 2 }}} \right]\]. Hỏi trong 200 số {x1, x2, …, x199} có bao nhiêu số khác 0 ?
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 1)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 6: Giải phương trình \[(\sqrt {x + 5} – \sqrt {x + 2)} (1 + \sqrt {{x^2} + 7x + 110} ) = 3\].
Bài 7: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 3y{x^2} = 5\\{y^3} + 6x{y^2} = 7\end{array} \right.\]
Bài 8: Tím các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : \[2{y^2}x + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\].
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng \[R\sqrt 3 \]
a) Tính độ dài MN theo R.
b) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I. Giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn , Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích D KAB theo R khi M, N thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ³ 3.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên (vòng 2)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 = 0. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32.
Bài 2: Giải hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + xy – {y^2} – 5x + y + 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + x + y – 4 = 0\end{array} \right.\]
Bài 3: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 .
Bài 4: đường tròn (O) nội tiếp D ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Đường tròn tâm (O’) bàng tiếp trong góc Ð BAC của D ABC tiếp xúc với BC và phần kéo dài của AB, AC tương ứng tại P, M, N.
a) Chứng minh rằng : BP = CD.
b) Trên đường thẳng MN lấy các điểm I và K sao cho CK // AB, BI // AC. Chứng minh rằng : tứ giác BICE và BKCF là hình bình hành.
c) Gọi (S) là đường tròn đi qua I, K, P. Chứng minh rằng (S) tiếp xúc với BC, BI, CK.
Bài 5: Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện : \[{x^2} + {(3 – x)^2} \ge 5\]
Tìm min của \[P = {x^4} + {(3 – x)^4} + 6{x^2}{(3 – x)^2}\].
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 1)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) Giải phương trình : \[\sqrt {{x^2} – 3x + 2} + \sqrt {x + 3} = \sqrt {{x^2} + 2x – 3} + \sqrt {x – 2} \].
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9
Bài 2: Giải hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 1\\{x^3} + {y^3} = x + 3y\end{array} \right.\] {M}
Bài 3: Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10. Sắp xếp 10 số đó một cách tùy ý vào một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được 10 tổng. Chứng minh rằng trong 10 tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \[P = \frac{{4a}}{{b + c – a}} + \frac{{3b{\rm{ or 5b}}}}{{a + c – b}} + \frac{{16c}}{{a + b – c}}\] Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 5: Đường tròn (C) tâm I nội tiếp D ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A’, B’, C’ .
a) Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy.
b) Kðo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp D ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng \[\frac{{IB.IC}}{{ID}} = r\] trong đó r là bán kính đường tròn (C) .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 2)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) Giải phương trình : \[\sqrt {8 + \sqrt x } + \sqrt {5 – \sqrt x } = 5\]
b) Giải hệ phương trình :\[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y + 1) = 8\\x(x + 1) + y(y + 1) + xy = 17\end{array} \right.\]
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phương.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểt thức: \[S = \frac{1}{{1 + xy}} + \frac{1}{{1 + yz}} + \frac{1}{{1 + zx}}\] Trong đó x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng D) sao cho Ð MAN = Ð MAB + Ð NAD.
a) BD cắt AN, AM tương ứng tại p và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
c) Ký hiệu diện tích của D APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S’. Chứng minh rằng tỷ số \[\frac{S}{{S’}}\] không đổi khi M, N thay đổi.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 1)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: Tìm các gia trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (y + 2)x2 + 1 = y2 .
Bài 2: a) Giải phương trình : \[\sqrt {x(3x + 1)} – \sqrt {x(x – 1)} = 2\sqrt {{x^2}} \].
b) Giải hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + 2 = 3x + y\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right.\]
Bài 3: Cho nửa vòng tròn đường kính AB=2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ 2 tia Mx và My sao cho Ð AMx =Ð BMy =300 . Tia Mx cắt nửa vòng tròn ở E, tia My cắt nửa vòng tròn ở F. Kẻ EE’, FF’ vuông góc với AB.
a) Cho AM= a/2, tính diện tích hình thang vuông EE’F’F theo a.
b) Khi M di động trên AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định.
Bài 4: Giả sử x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn : \[\left\{ \begin{array}{l}x(\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + y(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) + z(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = – 2\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\end{array} \right.\] .Hãy tính giá trị của \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\].
Bài 5: Với x, y, z là các số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[M = \frac{{xyz}}{{(x + y)(y + z)(z + x)}}\]
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên ( vòng 2)
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính chất f(x) nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên hỏi các hệ số a, b, c có nhất thiết phải là các số nguyên hay không ? Tại sao ?
b) Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đẳng thức : \[{x^2} = {y^2} + \sqrt {y – 1} \]
Bài 2: Giải phương trình \[4\sqrt {x + 1} = {x^2} – 5x + 14\]
Bài 3: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn hệ : \[\left\{ \begin{array}{l}ax + by = 3\\a{x^2} + b{y^2} = 5\\a{x^3} + b{y^3} = 9\\a{x^4} + b{y^4} = 17\end{array} \right.\]
Tính giá trị của các biểu thức \[A = a{x^5} + b{y^5}\]và \[B = a{x^{2001}} + b{y^{2001}}\]
Bài 4: Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm là O. Gọi d, d’ là các đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại A, B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d ở M, còn cạnh kia cắt d’ ở N. kẻ OH ^ MN. Vòng tròn ngoại tiếp D MHB cắt d ở điểm thứ hai là E khác M. MB cắt NA tại I, đường thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một đường tròn cố đinh khi góc vuông uqay quanh đỉnh O.
Bài 5: Cho 2001 đồng tiền, mỗi đồng tiền được sơn một mặt màu đỏ và một mặt màu xanh. Xếp 2001 đồng tiền đó theo một vòng tròn sao cho tất cả các đồng tiền đều có mặt xanh ngửa lên phía trên. Cho phép mỗi lần đổi mặt đồng thời 5 đồng tiền liên tiếp cạnh nhau. Hỏi với cánh làm như thế sau một số hữu hạn lần ta có thể làm cho tất cả các đồng tiền đều có mặt đỏ ngửa lên phía trên được hay không ? Tại sao ?
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 2000 Đại học khoa học tự nhiên
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) Tính \[S = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + …. + \frac{1}{{1999.2000}}\].
b) GiảI hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{x}{y} = 3\\{x^{}} + \frac{1}{{{y^{}}}} + \frac{x}{y} = 3\end{array} \right.\]
Bài 2: a) Giải phương trình \[\sqrt {x – 4} + \sqrt {{x^3} + {x^2} + x + 1} = 1 + \sqrt {{x^4} – 1} \]
b) Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình
\[2{x^2} – (4a + \frac{{11}}{2})x + 4{a^2} + 7 = 0\] có ít nhất một nghiệm nguyên.
bài 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F như hình
a) Chứng minh rằng \[\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{DF}}{{CF}}\].
b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 4: Cho x, y là hai số thực bất kì khác không.
Chứng minh rằng \[(\frac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^8}}} + \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}) \ge 3\]. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?