Giải SGK Toán 7 Bài 7 (Chân trời sáng tạo): Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 73 Tập 2

Khởi động trang 73 Toán lớp 7 Tập 2: Đặt đầu bút chì ở điểm nào của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng?

Lời giải:

Đặt đầu bút chì ở trọng tâm của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng.

1. Đường trung tuyến của tam giác

Khám phá 1 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.

Lời giải:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác ABC.

Bước 2. Xác định trung điểm D của BC và vẽ đoạn thẳng nối A và D.

Ta có hình vẽ sau:

Thực hành 1 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2: Em hãy vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).

Lời giải:

Xác định trung điểm E của AC và trung điểm F của AB.

Nối BE và CF ta được hai đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

Vận dụng 1 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2: a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP (Hình 3).

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.

Lời giải:

a) Tam giác DEF có đường trung tuyến DH nên H là trung điểm của EF.

Ta có hình vẽ sau:

b) Tam giác vuông MNP có đường trung tuyến MK nên K là trung điểm của NP.

Ta có hình vẽ sau:

c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh JK, KI, IJ.

Nối ID, JE, KF ta được ba đường trung tuyến của tam giác MNP.

Ta có hình vẽ sau:

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải Toán 7 trang 74 Tập 2

Khám phá 2 trang 74 Toán lớp 7 Tập 2: a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không?

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D. Em hãy quan sát và cho biết:

– AD có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?

– Các tỉ số $\frac{BG}{BE}$, $\frac{CG}{CF}$, $\frac{AG}{AD}$bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Thực hiện theo hướng dẫn của bài toán ta thu được hình sau:

Ta thấy ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm.

b) Ta có hình vẽ sau:

– Quan sát hình ta thấy D là trung điểm của BC nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

– $\frac{BG}{BE}=\frac{2}{3}$, $\frac{CG}{CF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{AG}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Giải Toán 7 trang 75 Tập 2

Thực hành 2 trang 75 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{GM}{AM}$;

b) $\frac{GM}{AG}$;

c) $\frac{AG}{GM}$.

Lời giải:

a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Khi đó GM = AM – AG = AM – $\frac{2}{3}$AM = $\frac{1}{3}$AM.

Do đó $\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}$.

b) Do GM = $\frac{1}{3}$AM và AG = $\frac{2}{3}$AM nên GM : AG = $\frac{1}{3}$AM : $\frac{2}{3}$AM = $\frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$.

c) Do $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$nên $\frac{AG}{GM}$= 2.

Vận dụng 2 trang 75 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Lời giải:

Do O là trung điểm của BC nên AO là đường trung tuyến của tam giác ABC, DO là đường trung tuyến của tam giác DBC.

Do I là trọng tâm của tam giác ABC nên I nằm trên AO sao cho AI = $\frac{2}{3}$AO.

Do J là trọng tâm của tam giác DBC nên J nằm trên DO sao cho DJ = $\frac{2}{3}$DO.

Mà OA và OD là hai tia đối nhau nên A, I, O, J, D thẳng hàng.

Do AI = $\frac{2}{3}$AO nên OI = $\frac{1}{3}$AO.

Do DJ = $\frac{2}{3}$DO nên OJ = $\frac{1}{3}$DO.

Do AO = DO và I, O, J thẳng hàng nên IJ = OI + OJ = $\frac{2}{3}$AO.

Khi đó AI = $\frac{2}{3}$AO, IJ = $\frac{2}{3}$AO, DJ = $\frac{2}{3}$AO nên AI = IJ = JD.

Bài tập (trang 75)

Bài 1 trang 75 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát Hình 8. Thay $?$bằng số thích hợp.

EG = $?$EM;GM = $?$EM;GM = $?$EG;

FG = $?$GN;FN = $?$GN;FN = $?$FG.

Lời giải:

Ta thấy G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFH nên G là trọng tâm của tam giác EFH.

Do đó EG = $\frac{2}{3}$EM.

Suy ra GM = EM – EG = EM – $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{3}$EM.

Khi đó GM : EG = $\frac{1}{3}$EM : $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{2}$.

FG = $\frac{2}{3}$FN, do đó GN = FN – FG = FN – $\frac{2}{3}$FN = $\frac{1}{3}$FN.

Khi đó FG : GN = $\frac{2}{3}$FN : $\frac{1}{3}$FN = 2.

GN = $\frac{1}{3}$FN nên FN = 3GN.

FG = $\frac{2}{3}$FN nên FN = $\frac{3}{2}$FG.

Ta điền như sau:

EG = $\frac{2}{3}$EM;GM = $\frac{1}{3}$EM;GM = $\frac{1}{2}$EG;

FG = 2GN;FN = 3GN;FN = $\frac{3}{2}$FG.

Bài 2 trang 75 Toán lớp 7 Tập 2: Quan sát Hình 9.

a) Biết AM = 15 cm, tính AG.

b) Biết GN = 6 cm, tính CN.

Lời giải:

a) G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AG = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{2}{3}$. 15 = 10 cm.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GN = $\frac{1}{3}$>CN.

Do đó CN = 3GN = 3.6 = 18 cm.

Bài 3 trang 75 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Do đó BM = CM.

Xét $△$BMG và $△$CME có:

BM = CM (chứng minh trên).

$\widehat{BMG}=\widehat{CME}$(đối đỉnh).

MG = ME (theo giả thiết).

Do đó $△$BMG = $△$CME (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BGM}=\widehat{CEM}$(2 góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM.

Lại có ME = GM và G, M, E thẳng hàng nên GE = GM + ME = 2GM.

Suy ra AG = GE.

Do đó G là trung điểm của AE.

Tam giác ABE có hai đường trung tuyến AI và BG cắt nhau tại F nên F là trọng tâm của tam giác ABE.

Do đó AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N là lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó BN = $\frac{1}{2}$AB, CM = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên BN = CM.

Xét $\Delta MCB$và $\Delta NBC$có:

MC = NB (chứng minh trên).

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta MCB=\Delta NBC$(c.g.c).

Suy ra BM = NC (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AI đi qua trung điểm của BC.

Mà AI cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

====== ****&**** =====