Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:16, 1156, 111556, …      Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Câu hỏi:

Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:16, 1156, 111556, …      Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Trả lời:

Ta cần chứng minh mọi số có dạng $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11\dots 1}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{55\dots 5}}}6$ đều là số chính phương. Thật vậy, đặt $\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11\dots 1}}}=a$ thì ${10}^n=9a+1$ nên:$A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11\dots 1}}}{.10}^n+\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{55\dots 5}}}6\begin{array}{l}=a\left(9a+1\right)+5a+1\\ ={\left(3a+1\right)}^2\end{array}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

   Trả lời:

   Ta có:$3599=3600-1={60}^2-1^2=\left(60+1\right)\left(60-1\right)=61.59$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức x2+2x+12+3x+22+4x+32
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức $x^2+2{\left(x+1\right)}^2+3{\left(x+2\right)}^2+4{\left(x+3\right)}^2$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}{x}^2+2{\left(x+1\right)}^2+3{\left(x+2\right)}^2+4{\left(x+3\right)}^2\\ =x^2+2\left(x^2+2x+1\right)+3\left(x^2+4x+4\right)+4\left(x^2+6x+9\right)\\ =x^2+2x^2+4x+2+3x^2+12x+12+4x^2+24x+36\\ =10x^2+40x+50\\ =\left(x^2+10x+25\right)+\left(9x^2+30x+25\right)\\ ={\left(x+5\right)}^2+{\left(3x+5\right)}^2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho x+y+z=0 và xy+yz+zx=0. Chứng minh rằng x=y=z.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx=0$. Chứng minh rằng $x=y=z$.

   Trả lời:

   Ta có: ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$Mà $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx=0$ nên ${}^2+y^2+z^2=0$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^2=0\\ y^2=0\\ z^2=0\end{array}\right.\Rightarrow x=y=z=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính A=−12+22−32+42−…−992+1002
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }-{99}^2+{100}^2$

   Trả lời:

   $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }-{99}^2+{100}^2\begin{array}{l}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\mathrm{\dots }+\left({100}^2-{99}^2\right)\\ =1+2+3+4+\mathrm{\dots }+99+100\\ =\frac{\mathrm{100\dots 101}}{2}=5050\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tính A=−12+22−32+42−…+−1n.n2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }+{\left(-1\right)}^n.n^2$

   Trả lời:

   Xét hai trường hợp* Nếu n là chẵn thì$\begin{array}{l}A=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\mathrm{\dots }+\left({100}^2-{99}^2\right)\\ =1+2+3+4+\mathrm{\dots }+\left(n-1\right)+n\\ =\frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{array}$*Nếu n là lẻ thì$\begin{array}{l}A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }+{\left(-1\right)}^n.n^2\\ =\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\mathrm{\dots }+\left[{\left(n-1\right)}^2-{\left(n-2\right)}^2\right]-n^2\\ =1+2+3+4+\mathrm{\dots }+\left(n-1\right)-n^2\\ =\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n^2\\ =-\frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====